Gazeta matematică 2018

Gazeta Matematică 4/2018

S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu  ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul $18$, stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul $78$;

b) se poate ajunge la numărul $2018$.

S:E18.128 (Vasile Ienuțaș)

Scrieți numărul $2018^{2017}$ ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)

Determinați numerele prime $a,b,c$ din egalitatea $5a^{6}+13b^{2}+5^{c}=2018$.

S:E18.130 (Traian Covaciu)

a) Determinați numerele prime $x,y,z$ astfel încât $8x+9y+60z=1918$.

b) Aflați numerele naturale $x,y,z$ astfel încât $20x+208y+209z=2018$.

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie $a,b,c\in \mathbb {Z}$ cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$. Arătați că pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{*}$, ecuația $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ are soluții reale.

S:E15.310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Arătați că nu există numere naturale p și q astfel încât să fie adevărată relația $p^{2}-2018=2^{q}$.

Soluție:

Putem scrie $p^{2}=2^{q}+2018$. Pentru $q=0$ obținem $p^{2}=2019$, iar pentru $q=1$ obținem $p^{2}=2020$ care nu sunt pătrate de numere naturale. Pentru q ≥ 2 trebuie să avem p număr par. Atunci $p^{2}=M4$, $2^{q}=M4$, iar $2018=M4+2$. Prin urmare relația dată nu este posibilă pentru p și q numere naturale.