28203

28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

1. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
2. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
3. Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$. Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$, pentru orice $x\geq 0$, atunci $f$ este surjectivă.

Soluție:

Considerând funcția $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-e^{x}$, relația din enunț are forma echivalentă $g(g(x))=x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} ,(1).$

a) Alegem $g(x)=-x$ care verifică $(1)$, și obținem $f(x)=e^{x}-x$, care nu este monotonă, întrucât $f'(x)=e^{x}-1$ își schimbă semnul pe $\mathbb {R}$.

b) Alegem $g(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$, care verifică $(1)$ și obținem

$f(x)=e^{x}+g(x)={\begin{cases}e^{x},&x\in \mathbb {Q} \\e^{x}-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$. Deoarece $f$ este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din $\mathbb {R} ^{\ast }$ ), rezultă că $f$ este discontinuă.

c) Pe baza ipotezelor asupra funcției $f$, rezultă că $g(x)\geq 0$, pentru orice $x\geq 0$, iar $g$ admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției $g$, obținută din $(1)$, rezultă că $g$ este strict monotonă și continuă.

În cazul în care $g$ ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției $g$, ce se obține din $(1)$, am avea că $\lim _{x\to \infty }g(x)=-\infty$, ceea ce contrazice că $g(x)\geq 0$ pentru orice $x\geq 0.$ Prin urmare, $g$ este strict crescătoare, $\lim _{x\to -\infty }g(x)=-\infty$, $\lim _{x\to \infty }g(x)=\infty$, ceea ce conduce la $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$, iar surjectivitatea funcției $f$ este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.