E:16893

E:16893 (Traian Covaciu)

Arătați că numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt simultan prime doar dacă $n$ este un multiplu natural al lui $6$.

Soluție

Pentru $n=6$ se obțin numerele prime $42$ și $101$.

Dacă $n$ este impar, atunci numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că $2|\,n$.

Dacă există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $n=3k+1$, atunci numărul $7n-1$ nu este prim, căci

$$7n-1=7\left(3k+1\right)-1=3\left(7k+2\right)\vdots \,3$$

Dacă există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $n=3k+2$, atunci numărul $17n-1$ nu este prim, căci

$$17n-1=17\left(3k+2\right)-1=3\left(17k+11\right)\vdots \,3.$$

Cum $n$ trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui $3$, deducem că $6|\,n$.

Observație. Perechi $\left(7n-1,17n-1\right)$ formate din numere prime se obține pentru $n=6$, $n=60$, $n=120$, $n=300$.