E:16890

E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $2024^{n}+n^{2024}+2$ nu este un pătrat perfect.

Soluție

Fie $N=2024^{n}+n^{2024}+2$.

Dacă $n$ este un număr par, atunci există numerele naturale nenule $t$ și $u$ pentru care $n^{2024}=4t$ și $2024^{n}=4u$. Atunci $N=4t+4u+2$, deci există numărul natural nenul $v$ pentru care $N=4v+2$, ceea ce implică faptul că $N$ nu poate fi un pătrat perfect.

Dacă $n$ este un număr impar, atunci există numerele naturale nenule $p$ și $q$ pentru care $n^{2024}=4p+1$ și $2024^{n}=4q$. Atunci $N=4p+1+4q+2$, deci există numărul natural nenul $w$ pentru care $N=4w+3$, ceea ce implică faptul că $N$ nu poate fi un pătrat perfect.

În concluzie, numărul $2024^{n}+n^{2024}+2$ nu este un pătrat perfect oricare ar fi $n$ un număr natural nenul.