E:16890

E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $2024^{n}+n^{2024}+2$ nu este un pătrat perfect.

Soluție

Fie $N=2024^{n}+n^{2024}+2$.

Dacă $n$ este un număr par, atunci există numerele naturale nenule $t$ și $u$ pentru care $n^{2024}=4t$ și $2024^{n}=4u$. Atunci Failed to parse (syntax error): {\displaystyle N = 4t+4u+2 <math>, deci există numărul natural nenul <math>v} pentru care $N=4v+2$, ceea ce implică faptul că $N$ nu poate fi un pătrat perfect.

Dacă $n$ este un număr impar, atunci există numerele naturale nenule $p$ și $q$ pentru care $n^{2024}=4p+1$ și $2024^{n}=4q$. Atunci $N=4p+1+4q+2$, deci există numărul natural nenul $w$ pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=4w+3} , ceea ce implică faptul că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} nu poate fi un pătrat perfect.

În concluzie, numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2024^n+n^{2024} + 2} nu este un pătrat perfect oricare ar fi Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} un număr natural nenul.