E:16888

E:16888 (Gheorghe Boroica)

Considerăm $n$ un număr natural nenul. Demonstrați că numărul $N=\underbrace {44\ldots 4} _{n{\text{ cifre}}}\underbrace {22\ldots 2} _{n{\text{ cifre}}}$ poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.

Soluție

Dacă $a=\underbrace {11\ldots 1} _{n{\text{ cifre}}}$, atunci $9\cdot a+1=10^{n}$ și

$$N=4\cdot a\cdot 10^{n}+2\cdot a=2\cdot a\cdot \left(2\cdot 10^{n}+1\right)=2\cdot a\cdot \left(2\cdot \left(9a+1\right)+1\right)=6a\cdot \left(6a+1\right).$$

În concluzie, numărul $N$ este produsul numerelor consecutive $6a$ și $6a+1$.