E:16887

E:16887 (Gheorghe Boroica)

Suma a $90$ de numere naturale este $2069$. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.

Soluție

Fie $S$ suma celor $90$ de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele $90$ de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci

$$S\geq \left(1+1\right)+\left(2+2\right)+\left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right)=2\cdot \left(1+2+3+\ldots +45\right)=2070.$$

Cum $2069<2070$, se obține contradicția care implică faptul că presupunerea făcută este falsă.

În concluzie, cel puțin trei numere sunt egale.