P:1795

P:1795 (Gheorghe Boroica)

Numărul $42$ se scrie ca și produsul a $2025$ numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.

Soluție

Sunt posibile următoarele scrieri ale numărului $42$ ca și produs de $2025$ de factori:

$$42=2\cdot 3\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2022}$$

$$42=6\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}$$

$$42=2\cdot 21\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}$$

$$42=3\cdot 14\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}$$

$$42=42\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2024}$$

Pentru fiecare dintre aceste produse se obțin următoarele sume ale factorilor lor:

$$S_{1}=2+3+7+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2022}=12+2022=2034,$$

$$S_{2}=6+7+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=13+2023=2036,$$

$$S_{3}=2+21+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=23+2023=2046,$$

$$S_{4}=3+14+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=17+2023=2040,$$

$$S_{5}=42+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2024}=42+2024=2066.$$

În concluzie, suma minimă $2034$ se obține pentru produsul $42=2\cdot 3\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2022}$.