E:16910

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^{4}+4y^{4}=3796.$

Soluție

Cum

$$x^{4}+4y^{4}=\left(x^{2}+2y^{2}\right)^{2}-4x^{2}y^{2}=\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right),$$

ecuația dată revine la

$$\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right)=3796.$$

Din $2y^{2}-2xy\,\vdots \,2$ și $2y^{2}+2xy\,\vdots \,2$ se deduce că expresiile pozitive $x^{2}+2y^{2}-2xy$ și $x^{2}+2y^{2}+2xy$ au aceeași paritate.

Cum $3796=2^{2}\cdot 13\cdot 73$, sunt posibile situațiile

$${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=26\\x^{2}+2y^{2}+2xy=146\end{cases}}$$

și

$${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=146\\x^{2}+2y^{2}+2xy=26.\end{cases}}$$

Se obțin soluțiile

$$\left(x,y\right)\in \left\{\left(\pm 6,-5\right),\,\left(\pm 6,5\right)\right\}.$$