E:16910

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^{4}+4y^{4}=3796.$

Soluție

Cum $x^{4}+4y^{4}=\left(x^{2}+2y^{2}\right)^{2}-4x^{2}y^{2}=\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right)$, ecuația dată revine la $\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right)=3796$

Din $2y^{2}-2xy\,\vdots \,2$ și $2y^{2}+2xy\,\vdots \,2$ se deduce că expresiile pozitive $x^{2}+2y^{2}-2xy$ și $x^{2}+2y^{2}+2xy$ au aceeași paritate. Cum $3796=2^{2}\cdot 13\cdot 73$, sunt posibile situațiile ${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=26\\x^{2}+2y^{2}+2xy=146\end{cases}}$ și ${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=146\\x^{2}+2y^{2}+2xy=26\end{cases}}$.

Se obțin soluțiile <math>\left(x,y\right)\in \left\{ \left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right) \right\}<.math>