E:16899

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$. Considerăm punctele $M$, $N$ pe laturile $\left(BC\right)$, respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$. Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$, punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$, iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$. Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.

Soluție.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\PP_{1}=MM_{1}\\\sphericalangle P_{1}=\sphericalangle M_{1}=90^{\circ }\end{cases}}$, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă $\Delta PP_{1}M\equiv \Delta MM_{1}N$, deci $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\MB=NC\\\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC\end{cases}}$, conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă $\Delta PMB\equiv \Delta MNC$, deci $\sphericalangle PBC=\sphericalangle MCN$.

Cum punctele $B$, $M$ și $C$ sunt colinare, avem

$$\sphericalangle BMP+\sphericalangle PMN+\sphericalangle NMC=180^{\circ }.$$

În triunghiul $\Delta CMN$ avem

$$\sphericalangle CNM+\sphericalangle NMC+\sphericalangle MCN=180^{\circ }.$$

Din cele două egalități și $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ se deduce $\sphericalangle PMN=\sphericalangle MCN$.

În concluzie, are loc egalitatea

$$\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA.$$