E:16899

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$. considerăm punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} pe laturile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(BC\right)} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(AC\right)} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BM = CN} . Fie punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle NM = MP} , punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$, iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$. Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.

Soluție

Din ${\begin{cases}PM=MN\\PP_{1}=MM_{1}\\\sphericalangle P_{1}=\sphericalangle M_{1}=90^{\circ }\end{cases}}$, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă $\Delta PP_{1}M\equiv \Delta MM_{1}N$, deci $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\MB=NC\\\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC\end{cases}}$, conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă $\Delta PMB\equiv \Delta MNC$, deci $\sphericalangle PBC=\sphericalangle MCN$.

Cum punctele $B$, $M$ și $C$ sunt colinare, avem $\sphericalangle BMP+\sphericalangle PMN+\sphericalangle NMC=180^{\circ }.$ în triunghiul $\Delta CMN$ avem $\sphericalangle CNM+\sphericalangle NMC+\sphericalangle MCN=180^{\circ }.$ Din \eqref{ang1} și \eqref{ang2} și $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ se deduce $\sphericalangle PMN=\sphericalangle MCN$.

în concluzie, $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.