E:16552

E:16552 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc)

Aflați cifrele $a,b,c$ astfel încât ${\overline {a,b(c)}}={\frac {\overline {c7}}{\overline {c0}}}$.

Soluție

Se observă că $c\neq 0$. De asemenea, ${\frac {\overline {c7}}{\overline {c0}}}={\frac {{\overline {c0}}+7}{\overline {c0}}}=1+{\frac {7}{c\cdot 10}}$.

Fracția ordinată ${\frac {7}{c\cdot 10}}$ se transformă într-o fracție zecimală cu perioada de o cifră dacă $c=3$ sau $c=9$.

Pentru $c=3$ se obține ${\frac {37}{30}}={\frac {37}{30}}=1,2(3)$, adică $a=1$, $b=2$.

Pentru $c=9$ obținem ${\frac {97}{90}}={\frac {97}{90}}=1,0(7)$, care nu convine.

Așadar, soluția este $a=1$, $b=2$, $c=3$.