14440

14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)
Se consideră numărul natural $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+.....+a_{2012}^{2}$ unde $a_{1},a_{2},a_{3},.....,a_{2012}$ sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că $B=2\cdot A+2013$ nu este pătrat perfect.

Soluție:

Dacă $a_{i}$, cu $i\in \{1,2,3,\ldots ,2012\}$, este număr prim mai mare decât $5$, atunci $a_{i}^{2}\equiv M8+1$, pentru orice $i\in \{1,2,3,\ldots ,2012\}$. Prin urmare, $B=2\cdot \left({\mathcal {M}}8+2012\right)+2013={\mathcal {M}}8+6037={\mathcal {M}}8+5$, care nu este pătrat perfect.