E14309

E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)

Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7} astfel încât să avem egalitatea:

2012 = Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s}

Arătați că a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = m² + n² , m,n ∈ Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Nu}

Soluție.

Dacă $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ sunt mai mici decât 3 atunci, $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$ poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6} avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2} . Dacă cel puțin unul dintre numerele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7} este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7} nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.