E:16610

E:16610 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale ${\overline {abc}}$, știind că ${\overline {ab}}$ și ${\overline {cb}}$ sunt numere prime și ${\overline {ab}}^{2}+{\overline {cb}}^{2}+b^{2}=2027$.

Soluție

Din relația dată deducem că ${\overline {ab}}\leq 43$, ${\overline {cb}}\leq 43$. În plus, cum acestea sunt numere prime de două cifre, trebuie să fie impare nedivizibile cu 5, prin urmare $b\in \{1,3,7,9\}$. Ținând cont de ultima cifră, rămâne $b=3$ sau $b=7$. Pentru $b=7$ avem ${\overline {ab}},{\overline {cb}}\in \{17,37\}$, care nu verifică. Pentru $b=3$ avem ${\overline {ab}},{\overline {cb}}\in \{13,23,43\}$, dintre care verifică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab} = 13} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{cb} = 43} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab} = 43} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{cb} = 13} .

Prin urmare, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abc}} este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 134} sau Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 431} .