E:15344

E:15344 (Teodora Zetea și Bogdan Zetea, Sighetu Marmației)

Un număr se numește primial dacă este format din cifre prime, distincte.

a) Câte numere primiale de trei cifre există?

b) Arătați că suma tuturor numerelor primiale nu este un pătrat perfect.

Soluție

Cifrele prime sunt $2$, $3$, $5$ și $7$.

a) La un număr format din trei cifre diferite, cifrele sutelor se pot alege din $4$ valori, cifra zecilor cu $3$ valori și cifra unităților cu $2$ valori. În aceste condiții, obținem: $4\cdot 3\cdot 2=24$ de numere.

b) La numerele primiale de o cifră, cifra unităților este o dată $2$, o dată $3$, o dată $5$ și o dată $7$.

La numerele primiale de două cifre, cifra unităților este de trei ori $2$, de trei ori $3$, de trei ori $5$ și de trei ori $7$.

La numerele primiale de trei cifre, cifra unităților este de $6$ ori $2$, de $6$ ori $3$, de $6$ ori $5$ și de $6$ ori $7$.

La numerele primiale de patru cifre, cifra unităților este de $6$ ori $2$, de $6$ ori $3$, de $6$ ori $5$ și de $6$ ori $7$

Atunci, cifra unităților sumei este cifra unităților numărului $16\cdot (2+3+5+7),$ adică $2$. Un pătrat perfect nu poate avea cifra unităților $2$.