Gazeta matematică 2013

Gazeta Matematică 1/2013

E:14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)

Se consideră numărul natural $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+.....+a_{2012}^{2}$ unde $a_{1},a_{2},a_{3},.....,a_{2012}$ sunt numere prime, mai mari sau egale cu $5$. Arătați că $B=2\cdot A+2013$ nu este pătrat perfect.

26713 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Se consideră șirul de numere reale $(x_{n})_{n\geq 0}$ și $(y_{n})_{n\geq 0}$ cu $x_{n}\geq 1$, $y_{n}\geq 1$, pentru orice $n\in \mathbb {N}$, și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})=2$. Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} y_n} .

Gazeta Matematică 6-7-8/2013

14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , notăm Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0! = 1} .

a) Arătați că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! }

b) Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( 60^2 + 60 + 1\right) \cdot 60 ! + \left( 59^2 + 59 + 1\right) \cdot 59! + \ldots + \left( 1^2 + 1 + 1\right) \cdot 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0!} , atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} se divide cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2013^2} .