E:14763

E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele prime $p$ și $q$, cu $p>q$, știind că $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$.

Soluție

Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ este echivalent ă cu $p\left(p^{2}-1-3pq\right)=q\left(q^{2}+1-3pq\right)$. Cum numerele $p$ și $q$ sunt prime,

Observație: Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ revine la $p+q=\left(p-q\right)^{3}$