S:P18.12

S:P18.12 (Vasile Berinde)

Reconstituiți înmulțirea ${\overline {abc}}\times 3={\overline {bcc}}$.

Soluție.

Notăm prin $u\left(N\right)$ ultima cifră a numărului natural $N$.

Avem ${\overline {abc}}\times 3={\overline {bcc}}\Rightarrow 300a+30b+3c=100b+11c\Rightarrow 300a=70b+8c$.

Cum $u\left(300a\right)=0$ și $u\left(70b\right)=0$, se deduce că $u\left(8c\right)=0$, deci avem posibilitățile $c=0$ și $c=5$.

Pentru $c=0$ se obține $b=0$, care nu convine.

Pentru $c=5$, avem ${\overline {abc}}\times 3={\overline {bcc}}\Rightarrow 30a=7b+4$. Cum $u\left(30a\right)=0$, rezultă $u\left(7b+4\right)=0$, deci $u\left(7b\right)=6$, care implică $b=8$. Atunci avem $30a=56+4$, deci $a=2$.

În concluzie, avem înmulțirea $285\cdot 3=855$.