15685

E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Se consideră triunghiul dreptunghic Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC } , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle A\ = 90^\circ } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle B\ = 30^\circ } . Punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} aparține laturii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD \perp BC } , punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$. Arătați că $DE\perp AM$.

Soluție Deoarece $AM$ este mediana în triunghiul dreptunghic $ABC$ avem $AM=BM=CM$. Din $AM=BM$ rezultă că $\triangle AMB\$ este isoscel și, cum $ME\perp AB$, $ME$ este bisectoarea unghiului $AMB$. Cum $\angle B\ =30^{\circ }$ și $ME\perp AB$ obținem $\angle EMB\ =60^{\circ }$, de unde $\angle AME\ =60^{\circ },(1)$. Pe de altă parte $\angle AMC\$ este unghi exterior triunghiului $AMB$ și atunci $\angle AMC\ =60^{\circ },(2)$. Din $(1)$ și $(2)$ deducem că $MA$ este bisectoarea unghiului $DME,(3)$.

Din $AM=CM$ și $\angle AMC\ =60^{\circ }$ rezultă că $\triangle AMC\$ este echilateral și, cum $AD\perp BC$, deducem că $D$ este mijlocul segmentului $CM$, deci $DM=CM/2,(4)$. Din $\triangle BEM\$ este dreptunghic și $\angle B\ =30^{\circ }$ obținem $ME=BM/2,(5)$. Cum $CM=BM$, din $(4)$ și $(5)$ rezultă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DM = EM } , adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle DME\ } este isoscel. De aici și din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3) } rezultă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MA \perp DE } .