E:5756

E:5756 (Dumitru Acu)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD} un romb. Prin vârful Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC} în $E$, pe $DC$ în $F$, iar pe diagonala $BD$ în $G$. Să se arate că dreapta $CG$ este tangentă în $C$ cercului circumscris triunghiului $ECF$.

Soluție

Din faptul că semidreapta $(DB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ADC$ și semidreapta $(GB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle AGC$ se deduce că

$$\left[AG\right]\equiv \left[CG\right].$$

În triunghiul $FGC$, aplicăm Teorema bisectoarei, pentru bisectoarea $(GD$ a unghiului $\sphericalangle FGC$ și obținem

$${\frac {CD}{DF}}={\frac {GC}{GF}}$$

Cum patulaterul $ABCD$ este un romb, avem $AB\parallel BC$, deci Teorema lui Thales implică

$${\frac {CD}{DF}}={\frac {EA}{AF}}$$

Atunci avem

$${\frac {EA}{AF}}={\frac {GA}{GF}}\Rightarrow {\frac {EA}{GA}}={\frac {AF}{GF}}$$

Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},} ceea ce revine laFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.}

Din puterea punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} față de cercul determinat de punctele necoliniare Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} rezultă că dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle GC} este tangentă la cercul circumscris triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ECF} .