16402 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Fie n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} și numerele pozitive x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} care verifică relația
1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n = n n + 1 . {\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {n}{n+1}}.}
Arătați că
1 x 1 + 2 + 1 x 2 + 6 + ⋯ + 1 x n + n ( n + 1 ) ≤ n 2 ( n + 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{x_{1}+2}}+{\frac {1}{x_{2}+6}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}+n(n+1)}}\leq {\frac {n}{2(n+1)}}.}
Soluție:
Din inegalitatea mediilor armonică și aritmetică, 1 a + b ≤ 1 4 ( 1 a + 1 b ) , {\displaystyle {\frac {1}{a+b}}\leq {\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),} pentru oricare a , b > 0. {\displaystyle a,b>0.} Aplicând succesiv această inegalitate obținem 1 x 1 + 2 + 1 x 2 + 6 + ⋯ + 1 x n + n ( n + 1 ) ≤ 1 4 ( 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n + 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) ) = {\displaystyle {\frac {1}{x_{1}+2}}+{\frac {1}{x_{2}+6}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}+n(n+1)}}\leq {\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+\dots +{\frac {1}{n(n+1)}}\right)=} 1 4 ( n n + 1 + 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ⋯ + 1 n − 1 n + 1 ) = n 2 ( n + 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\frac {n}{n+1}}+1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {n}{2(n+1)}}.}
și numerele pozitive 
care verifică relația
pentru oricare 
Aplicând succesiv această inegalitate obținem
