15323

E:15323 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Arătați că există o infinitate de numere naturale diferite $a$ și $b$ pentru care $4a^{2}-2022ab+2018b^{2}=0$.

Soluție. Relația se scrie:

$4a^{2}-4ab-2018ab+2018b^{2}=0$

sau

$4a(a-b)-2018b(a-b)=0.$

Cum $a\neq b$, putem împărți prin $2(a-b)$ și obținem:

$2a-1009b=0.$

Orice pereche de forma $(1009k,2k)$, unde $k$ este un număr natural, este soluție a acestei ecuații.