S:E22.136

S:E22.136 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele $n$, $p$ natuarale neule pentru care $2n^{2}=253\cdot \left(p!+2022\right)$, unde $p!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot p$.

Soluție

Notăm cu $u\left(N\right)$ ulitima cifră a numărului natural $N$.

Pentru $p\geq 5$, avem $u\left(253\cdot \left(p!+2022\right)\right)=6$ și $u\left(2n^{2}\right)\in \left\{0,2,8\right\}$. Deci, pentru $p\geq 5$, avem $2n^{2}\neq 253\cdot \left(p!+2022\right)$ oricare ar fi $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$.

Deoarece $2n^{2}$ este număr par, $p=1$ nu convine, deci $p\in \left\{2,3,4\right\}$.

Cum numerele $2$ și $253$ sunt relativ prime între ele, egalitatea $2n^{2}=253\cdot \left(p!+2022\right)$ are loc doar dacă $253|n$, deci există $k\in \mathbb {N} ^{\ast }$ astfel încât $n=253\cdot k$. Egalitatea devine $2\cdot k^{2}=p!+2022$, cu $p\in \left\{2,3,4\right\}$.

Se obține $n=506$ și $p=2$.