Gazeta matematică 2018

Gazeta Matematică 2/2018

E:15314 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} pentru care este adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018^{m}=8^{n}+2010} .

E:15316 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numărul prim Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} și numărul natural $q$ astfel încât $p^{2}+5^{p}+31=3181^{q}.$

E:15325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare) Determinați numerele naturale ${\overline {abcd}}$ pentru care:

$${\frac {\sqrt {d+2\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {d0}}}={\frac {\sqrt {3\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {abc}}}$$

Gazeta Matematică 4/2018

S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu  ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul $18$, stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul $78$;

b) se poate ajunge la numărul $2018$.

S:E18.128 (Vasile Ienuțaș)

Scrieți numărul $2018^{2017}$ ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)

Determinați numerele prime $a,b,c$ din egalitatea $5a^{6}+13b^{2}+5^{c}=2018$.

S:E18.130 (Traian Covaciu)

a) Determinați numerele prime $x,y,z$ astfel încât $8x+9y+60z=1918$.

b) Aflați numerele naturale $x,y,z$ astfel încât $20x+208y+209z=2018$.

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}} cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^{2}+c^{2}=a^{2}} . Arătați că pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}} , ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0} are soluții reale.