15685

E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\angle A\ =90^{\circ }$ și $\angle B\ =30^{\circ }$. Punctul $D$ aparține laturii $BC$ astfel încât $AD\perp BC$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$. Arătați că $DE\perp AM$.

Soluție Deoarece $AM$ este mediana în triunghiul dreptunghic $ABC$ avem $AM=BM=CM$. Din $AM=BM$ rezultă că $\triangle AMB\$ este isoscel și, cum $ME\perp AB$, $ME$ este bisectoarea unghiului $AMB$. Cum $\angle B\ =30^{\circ }$ și $ME\perp AB$ obținem $\angle EMB\ =60^{\circ }$, de unde $\angle AME\ =60^{\circ },(1)$. Pe de altă parte $\angle AMC\$ este unghi exterior triunghiului $AMB$ și atunci $\angle AMC\ =60^{\circ },(2)$. Din $(1)$ și $(2)$ deducem că $MA$ este bisectoarea unghiului $DME,(3)$.

Din $AM=CM$ și $\angle AMC\ =60^{\circ }$ rezultă că $\triangle AMC\$ este echilateral și, cum $AD\perp BC$, deducem că $D$ este mijlocul segmentului $CM$, deci $DM=CM/2,(4)$. Din $\triangle BEM\$ este dreptunghic și $\angle B\ =30^{\circ }$ obținem $ME=BM/2,(5)$. Cum $CM=BM$, din $(4)$ și $(5)$ rezultă $DM=EM$, adică $\triangle DME\$ este isoscel. De aici și din $(3)$ rezultă $MA\perp DE$.