S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)
Fie A , B ∈ M 3 ( R ) {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{3}\left(\mathbb {R} \right)} cu A B = B A {\displaystyle AB=BA} , A 2 + B 2 {\displaystyle A^{2}+B^{2}} neinversabilă și det ( A ) = α ⋅ det ( B ) ≠ 0 {\displaystyle \det(A)=\alpha \cdot \det(B)\neq 0} , unde α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} . Arătați că det ( A + B ) det ( A + B ) = det ( A ) + det ( B ) det ( A ) − det ( B ) . {\displaystyle {\frac {\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)}}={\frac {\det(A)+\det(B)}{\det(A)-\det(B)}}.}
Soluție.
