27022

27022 (Guntter Gotha)

Fie $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$. Mulțimea $M=\left\{x\in \left[a,b\right]\,|\,f\left(x\right)=0\right\}$ este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că $f$ are un punct de extrem local ce aparține mulțimii $M$.

Soluție.

Presupunem prin absurd contrariul. Rezultă că $f$ își schimbă semnul de fiecare dată când se anulează, adică de $2n+1$ ori. Atunci $f(a)$ și $f(b)$ au semne contrare, în contradicție cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$.