14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Enunț:

Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^x + 3^y = 2^y + 3^x} , atunci x = y.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^x - 2^y = 3^x - 3^y} . Presupunem că $x\neq y$; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$. Avem $2^{y}<3^{y}$ și $2^{x-y}-1<3^{x-y}-1$, de unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)} , ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.