14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)\cdot 3^{y}(3^{x-y}-1)$. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.