28251

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$.
a) Dați un exemplu de o funcție $f$ cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}}-1$.

Soluție. a) Funcția $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}$ are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece $e^{t}\geq t+1$ pentru orice $t\in \mathbb {R}$, avem

$1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}(2f(x)+1)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1$,
de unde rezultă că $\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}$. Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx$, deducem că $\int _{0}^{1}(f(x)-x_{d}^{n^{3}-1}x\leq 0$, deci există $a\in [0,1]$, astfel încât $f(a)-a^{n^{3}}-1\leq 0$.
Functia $g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}$ este continuă și $g(0)*g(a)\leq 0$.
Rezultă că exsită $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $g(c)=0$.