14383

14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte $a$, $b$ verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$.

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$, iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$.

Soluție.

i) Se știe că $a\cdot b=[\,a,b]\,\cdot (\,a,b)\,$ și relația devine $9\cdot [\,a,b]\,=[\,a,b]\,\cdot {\{(\,a,b)\,\}}^{2}$. De aici obținem ${\{(a,b)\}}^{2}=9$, de unde $(a,b)=3$, ceea ce arată că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Din $(a,b)=3$ rezultă $a=3x$ și $b=3y$ cu $(x,y)\,=1$. Deoarece $a<b$ avem $x<y$. Cum $x$ și $y$ sunt numere naturale avem $y-x\geq 1$.

Atunci $b-a=3(\,y-x)\,\geq 3\cdot 1=3$, de unde $b\geq a+3$.