27036

27036 (Radu Pop)

Să se determine funcțiile derivabile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} } cu proprietățile:

a) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f' } este funcție strict crescătoare;

b) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(0) = 0; }

c) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y) } , oricare ar fi $x,y\in \mathbb {R}$.

Soluție:

Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f' (x) > 0, x \in (0, \infty) } , rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } este strict crescătoare, deci injectivă pe Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, \infty) } .

Deoarece expresia $xyf'(x)f'(y)-f(x)f(y)$ este simetrică în variabilele $x$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } , din ipoteza c) rezultă că $f(yf'(x))=f(xf'(y))$. Din injectivitatea funcției $f$ obținem $yf'(x)=xf'(y)$, pentru orice $x,y\in [0,\infty )$.

În particular, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) = f'(1)x } , deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = ax^2 +c } , unde $a={\frac {f'(1)}{2}}>0$ și $c\in$ ℝ . Pentru $x,y\in [0,\infty )$ avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(2axy)+a^2 x^2 y^2 = 4a^2 x^2y^2 } , deci $4a^{3}x^{2}y^{2}+a^{2}x^{2}y^{2}=4a^{2}x^{2}y^{2}$. Rezultă $a={\frac {3}{4}}$ , deci

$$f(x)={\frac {3}{4}}x^{2},x\in \left[0,\infty \right).$$

Dacă $x,y\in (-\infty ,0]$, atunci $yf'(x)\geq 0,xf'(y)\geq 0$ și ca mai sus avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle yf'(x)=xf'(y) } .

În particular $f'(x)=-f'(-1)x$, deci $f(x)=bx^{2}+d,$ cu $b>0$ și d $\in$ ℝ . Cum $0=f(0)=d,$ rezultă că

$$f(x)=bx^{2},\,x\in \left(-\infty ,0\right].$$

Pentru $x=-1,y=1$, avem $f(-3b)+{\frac {3}{4}}b=3b$, deci $4b^{3}={\frac {9}{4}}b$

și cum $b>0$, rezultă $b={\frac {3}{4}}.$

Obținem $f(x)={\frac {3}{4}}x^{2},x\in$ℝ , funcție care verifică ipotezele din enunț.