27020 (Gheorghe Szöllösy)
Să se calculeze suma
Soluție:
Fie
coeficientul lui
din rezolvarea lui
Nu s-a putut interpreta (eroare de sintaxă): {\displaystyle P(X) = \left(X + \left.\frac{1}{2}\right\right.)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).}
Avem
, iar pe de altă parte,
![{\displaystyle a_{n}=C_{n}^{0}\cdot C_{n}^{0}+C_{n}^{1}\cdot C_{(}n-1)^{1}\left.{\frac {1}{4}}\right.+C_{n}^{2}\cdot C_{(}n-2)^{1}\left.{\frac {1}{4^{2}}}\right.+...=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a1fc68738185155e6b10629b1addd74391000a)
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}C_{n}^{k}C_{(}n-k)^{k}\cdot \left.{\frac {1}{4^{k}}}\right.=n!\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{(k!)^{2}(n-k)!4^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac5d0ecba2690d6656a531d95a88b925c623ad5)
deci suma este egală cu