2015-12-1

$Problema:$ Fie $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ o funcție crescătoare, derivabilă pe $[-1,1]$ cu $f'(0)\neq 0$. Să se arate ca există cel puțin un punct $c\in (-1,1),c\neq 0$, cu proprietatea că

$$2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0.$$

.

Soluție [Robert Rogozsan]

Dacă $\ f(0)\geq 0$, cum $f$ este crescătoare, vom avea că $f(t)\geq 0,\forall t\geq 0$, deci

$$2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0,\forall t\geq 0.$$

Atunci luăm $c\in (0,1)$ arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru $\ f(0)\leq 0$ (luăm $c$ din $(-1,0)$).

$Observatie:$ În funcție de cum e $f(0)$ față de $0$, concluzia se verifică pentru $orice\ c\in (0,1)$ ($(-1,0)$). Nu avem nevoie de faptul că $f$ e derivabilă, nici de $f'(0)\neq 0$.