P r o b l e m a : {\displaystyle Problema:} Fie f : [ − 1 , 1 ] → R {\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} } o funcție crescătoare, derivabilă pe [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} cu f ′ ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f'(0)\neq 0} . Să se arate ca exista cel puțin un punct c ∈ ( − 1 , 1 ) , c ≠ 0 {\displaystyle c\in (-1,1),c\neq 0} , cu proprietatea că 2 c f ( c ) + ∫ 0 c f ( x ) d x ≥ 0 {\displaystyle 2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0} .
S o l u t i e : ( R o b e r t R o g o z s a n ) {\displaystyle Solutie:\ (Robert\ Rogozsan)} Cazul 1 : f ( 0 ) ≥ 0 {\displaystyle 1:\ f(0)\geq 0} . Cum f {\displaystyle f} e crescătoare, vom avea ca f ( t ) ≥ 0 , ∀ t ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0,\forall t\geq 0} , deci 2 t f ( t ) + ∫ 0 t f ( x ) d x ≥ 0 ∀ t ≥ 0 {\displaystyle 2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0\forall t\geq 0} .
Fie ![{\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6b3e94215c6224a6e70a62a912110cbf6a249)
o funcție crescătoare, derivabilă pe ![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
cu 
. Să se arate ca exista cel puțin un punct 
, cu proprietatea că 
.
Cazul 
. Cum 
e crescătoare, vom avea ca 
, deci 
.
