Gazeta matematică 1977

16404 (Gabriela Kadar)

Aflați valoarea minimă a expresiei $E\left(x,y\right)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$, cu $x,y\in \mathbb {R}$, astfel încât $mx+ny=p$, unde $p>0$, $m,n\in \mathbb {R}$.

Soluție:

Fie $n\neq 0$. Din condiția $mx+ny=p$ se obține $y={\frac {p-mx}{n}}$. Atunci

$$x^{2}+y^{2}=x^{2}+\left({\frac {p-mx}{n}}\right)^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left[\left(n^{2}+m^{2}\right)x^{2}-2pmx+p^{2}\right].$$

Dacă considerăm funcția $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, cu $f\left(x\right)={\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left[\left(n^{2}+m^{2}\right)x^{2}-2pmx+p^{2}\right]$, atunci valoarea minimă pentru funcția $f$ se atinge în

$$x_{v}={\frac {pm}{n^{2}+m^{2}}},$$

iar valoarea minimă este

$$f\left(x_{v}\right)={\frac {p^{2}}{n^{2}+m^{2}}}.$$

Atunci valoarea minimă a expresieie $E\left(x,y\right)$ este

$$E_{min}={\frac {p}{\sqrt {n^{2}+m^{2}}}}.$$

Dacă $n=0$, din $p>0$, rezultă $m\neq 0$, atunci $x={\frac {p}{m}}$, $y\in \mathbb {R}$ și $E\left(x,y\right)={\sqrt {\left({\frac {p}{m}}\right)^{2}+y^{2}}}$, cu valoarea minimă

$$E_{min}={\frac {p}{\left|m\right|}}.$$

Observație (Interpretarea geometrică) Din punct de vedere geometric, cerința problemei necesită determinarea distanței minime de la dreapta $mx+ny=p$ la suprafața $z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$, distanță care coincide cu distanța de la originea axelor la dreapta $mx+ny=p$.