E:16899

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$. considerăm punctele $M$, $N$ pe laturile $\left(BC\right)$, respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$. Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$, punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$, iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$. Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.

Soluție

Din Failed to parse (unknown function "\math"): {\displaystyle \begin{cases} PM = MN \\ PP_1 = MM_1 \\ \sphericalangle P_1 = \sphericalangle M_1 = 90^\circ \end{cases}<\math>, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă <math>\Delta PP_1M \equiv \Delta MM_1N} , deci $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\MB=NC\\\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC\end{cases}}$, conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă $\Delta PMB\equiv \Delta MNC$, deci $\sphericalangle PBC=\sphericalangle MCN$.

Cum punctele $B$, $M$ și $C$ sunt colinare, avem $\sphericalangle BMP+\sphericalangle PMN+\sphericalangle NMC=180^{\circ }.$ în triunghiul $\Delta CMN$ avem $\sphericalangle CNM+\sphericalangle NMC+\sphericalangle MCN=180^{\circ }.$ Din \eqref{ang1} și \eqref{ang2} și $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ se deduce $\sphericalangle PMN=\sphericalangle MCN$.

în concluzie, $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.