P:1792

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural ${\overline {ab}}$ pentru care $a\times {\overline {b00b}}+{\overline {aa}}=2024$.

Soluție

Evident, cifrele $a$ și $b$ sunt diferite de $0$.

Din ${\overline {b00b}}<2024$ se obține $b\leq 2$, deci cifra $b$ poate lua valorile $1$ sau $2$.

Egalitatea din enunț se poate scrie în forma echivalentă $a\times b\times 1001+a\times 11=2024$. Cum $1001=11\times 91$ și $2024=11\times 184$, fiecare termen se împarte cu $11$ și se obține $a\times b\times 91+a=184$.

Pentru $b=1$, egalitatea de mai sus devine $91\times a+a=184$, ceea ce conduce la $92\times a=184$, ecuație ce are soluția $a=2$.

Pentru $b=2$, egalitatea de mai sus devine $182\times a+a=184$, ceea ce conduce la egalitatea $183\times a=184$ pentru care nu există $a$ număr natural care să o satisfacă.