E:5756

E:5756 (Dumitru Acu)

Fie $ABCD$ un romb. Prin vârful $A$ ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe $BC$ în $E$, pe $DC$ în $F$, iar pe diagonala $BD$ în $G$. Să se arate că dreapta $CG$ este tangentă în $C$ cercului circumscris triunghiului $ECF$.

Soluție

Din faptul că semidreapta $(DB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ADC$ și semidreapta $(GB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle AGC$ se deduce că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]}

În triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle FGC} , aplicăm Teorema bisectoarei, pentru bisectoarea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (GD} a unghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle FGC} și obținemFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}} Cum patulaterul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABCD} este un romb, avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB \parallel BC} , deci Teorema lui Thales implică

$${\frac {CD}{DF}}={\frac {EA}{AF}}$$

Atunci avem

$${\frac {EA}{AF}}={\frac {GA}{GF}}\Rightarrow {\frac {EA}{GA}}={\frac {AF}{GF}}$$

Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

$${\frac {GA-AE}{GA}}={\frac {GF-FA}{GF}}\Rightarrow {\frac {GE}{GA}}={\frac {GA}{GF}}$$

ceea ce revine la

$$GA^{2}=GE\cdot GF\Leftrightarrow GC^{2}=GE\cdot GF$$