27930

27930 (Nicolae Mușuroia)

Fie $z_{1},z_{2}$ respectiv $z_{3}$, afixele vârfurilor triunghiului $A_{1}A_{2}A_{3}$, înscris în cercul $C(0,1)$. Arătați că triunghiul $A_{1}A_{2}A_{3}$ este echilateral dacă și numai dacă $(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})\not =0$ și ${\frac {1}{z_{1}+z_{2}}}+{\frac {1}{z_{2}+z_{3}}}+{\frac {1}{z_{3}+z_{1}}}=0$.

Soluție. Dacă $A_{1}A_{2}A_{3}$ este triunghi echilateral, afixele punctelor $A_{1},A_{2},A_{3}$ sunt $z_{1},\epsilon z_{1}$ și $\epsilon ^{2}z_{1}$, unde $\epsilon \in \mathbb {C}$ astfel încât $\epsilon ^{2}+\epsilon +1=0$, iar relația din enunț se verifică prin calcul elementar.

Reciproc, condiția din enunț se scrie echivalent

$$(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})+(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})+(z_{3}+z_{1})(z_{1}+z_{2})=0,$$

iar după calcule se rescrie $(z_{1}+z_{2}+z_{3})^{2}=-(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})$.

Întrucât $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$, deducem că

$${\overline {z_{1}+z_{2}+z_{3}}}={\frac {1}{z_{1}}}+{\frac {1}{z_{2}}}+{\frac {1}{z_{3}}}={\frac {z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}}{z_{1}z_{2}z_{3}}}=-{\frac {(z_{1}+z_{2}+z_{3})^{2}}{z_{1}z_{2}z_{3}}}.$$

Trecând la module, rezultă că $|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=|z_{1}+z_{2}+z_{3}|^{2}$. Întrucât ortocentrul $H$ al triunghiului $A_{1}A_{2}A_{3}$ are afixul $h=z_{1}+z_{2}+z_{3}$, obținem $|h|\in \{0,1\}$.

Dacă $|h|=1$, atunci $H\in C(0,1)$. Rezultă că triunghiul $A_{1}A_{2}A_{3}$ este dreptunghic și $z_{1}+z_{2}=0$ sau $z_{2}+z_{3}=0$ sau $z_{3}+z_{1}=0$, fals.

Așadar, $|h|=0$, deci $H=O$, adică triunghiul $A_{1}A_{2}A_{3}$ este echilateral.