28251 (Gheorghe Boroica)
Fie
un număr natural și
o funcție continuă astfel încât
și
.
a) Dați un exemplu de o funcție
cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există
astfel încât
.
Soluție. a) Funcția
![{\displaystyle f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2577c2dcaf352b2a43eb422433f2f7866a5bc1d)
are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece
![{\displaystyle e^{t}\geq t+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc913b7d5cbae195887f09b0559647b8532a820d)
pentru orice
![{\displaystyle t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de)
, avem
![{\displaystyle 1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}\left(2f(x)+1\right)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c619357a33a9fc39e54577d7cd8d4b4d97d8d925)
de unde rezultă că
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316143c3bc7fd72f7649a7662d6626832370f8c5)
Cum
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx={\dfrac {1}{n^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92437b9166f2a18c8ed8f45bd6de3c79c0488dba)
, deducem că
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(f(x)-x^{n^{3}-1}\right)dx\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce369f54e2d87e39562693afb64a1ec70716945)
, deci există
![{\displaystyle a\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254834e1cbe5c10e41397c0985566bb1cef07712)
, astfel încât
![{\displaystyle f(a)-a^{n^{3}-1}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18d34bf1ad9fa119e0f3e80a2a69885f67c3d53)
.
Functia
![{\displaystyle g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833fe7bce38d69dfc5fbf3ea507dadbc608466a9)
este continuă și
![{\displaystyle g(0)\cdot g(a)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3111a28e6a8bf2dfa57027afa5f6f4e12fd9bba6)
.
Rezultă că există
![{\displaystyle c\in [0,a]\subseteq [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4702c9a8b1835182911e727c5b3f9049a508a32b)
astfel încât
![{\displaystyle g(c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c641f78e8459030d5025500a831d2fce3cb909)
.