28251

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} } o funcție continuă astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0) \geq 0} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}} .
a) Dați un exemplu de o funcție Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \in [0,1] } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(c) = c^{n^{3}} - 1 } .

Soluție. a) Funcția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}} are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^t \geq t + 1} pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \in \mathbb{R}} , avem

$$1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}\left(2f(x)+1\right)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1,$$

de unde rezultă că

$$\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}.$$

Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx={\dfrac {1}{n^{3}}}$, deducem că $\int _{0}^{1}\left(f(x)-x^{n^{3}-1}\right)dx\leq 0$, deci există $a\in [0,1]$, astfel încât $f(a)-a^{n^{3}-1}\leq 0$.
Functia $g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}$ este continuă și $g(0)\cdot g(a)\leq 0$.
Rezultă că există $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $g(c)=0$.