15698

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale $a$, $b$, $c$ pentru care

$$\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}=2022c^{2}$$

Soluție: Vom folosi proprietatea:

dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu $3$, atunci fiecare număr este divizibil cu 3.

Această proprietate reiese din faptul că, dacă $n\in \mathbb {N}$ nu este divizibil cu $3$, atunci $n^{2}={\mathcal {M}}_{3}+1$.

Aici, deoarece $2022$ este divizibil cu $3$, iar $2021$ și $2020$ nu sunt divizibile cu $3$, reiese că $3|a$ și $3|b$. Dacă $a\neq 0$ sau $b\neq 0$, atunci există $a_{1}\in \mathbb {N}$, $b_{1}\in \mathbb {N}$ pentru care $a=3a_{1}$ și/sau $b=3b_{1}$, iar $a_{1}<a$ sau $b_{1}<b$.

Rezultă $9\left[\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}\right]=2022c^{2}$, ceea ce implică $c=3c_{1}$, cu $c_{1}\in \mathbb {N}$.

Relația devine $\left(2020a_{1}\right)^{2}+\left(2021b_{1}\right)^{2}=2022c_{1}^{2}$, ceea ce, ca mai sus, duce la $a_{1}=3a_{2}$, $b_{1}=3b_{2}$, $c_{1}=3c_{2}$, cu

$a_{2},b_{2},c_{2}\in \mathbb {N}$, iar $a_{2}<a_{1}$ sau $b_{2}<b_{1}$.

Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale $a>a_{1}>a_{2}>\ldots$ sau un șir nesfârșit de numere naturale $b>b_{1}>b_{2}>\ldots$, ceea ce este imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

Rămâne soluția $a=b=c=0$.

Observație. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că $a=b=c=0$ reprezintă metoda coborârii infinite.