28203

28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} } o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

1. Dați exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
2. Dați exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
3. Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$, pentru orice $x\geq 0$, atunci $f$ este surjectivă.

Soluție: Considerând funcția $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-e^{x}$, relația din enunț are forma echivalentă $g(g(x))=x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} ,(1).$

a) Alegem $g(x)=-x$ care verifică $(1)$, și obținem $f(x)=e^{x}-x$, care nu este monotonă,, întrucât $f'(x)=e^{x}-1$ își schimbă semnul pe $\mathbb {R}$.

b) Alegem $g(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$, care verifică $(1)$ și obținem

$f(x)=e^{x}+g(x)={\begin{cases}e^{x},&x\in \mathbb {Q} \\e^{x}-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$. Deoarece $f$ este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din $\mathbb {R} ^{\ast }$ ), rezultă că $f$ este discontinuă.

c) Pe baza ipotezelor asupra funcției $f$, rezultă că $g(x)\geq 0$, pentru orice $x\geq 0$, iar $g$ admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției $g$, obținută din $(1)$, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} este strict monotonă și continuă.

În cazul în care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} , ce se obține din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} , am avea că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty } , ceea ce contrazice că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)\ge 0} pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ge 0} . Prin urmare, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} este strict crescătoare, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty } , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x) =\infty } , ceea ce conduce la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty } , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) =\infty } , iar surjectivitatea funcției Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.