S:E21.313

S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

$${\frac {x-5}{1013}}+{\frac {x-7}{1014}}+{\frac {x-9}{1015}}={\frac {x+2009}{6}}+{\frac {x+2005}{8}}+{\frac {x+2001}{10}}.$$

Soluție.

Avem

${\frac {x-5}{1013}}={\frac {x+2021-2021-5}{1013}}={\frac {x+2021}{1013}}-{\frac {2026}{1013}}={\frac {x+2021}{1013}}-2$

${\frac {x-7}{1014}}={\frac {x+2021-2021-7}{1014}}={\frac {x+2021}{1014}}-{\frac {2028}{1014}}={\frac {x+2021}{1014}}-2$

${\frac {x-9}{1015}}={\frac {x+2021-2021-9}{1015}}={\frac {x+2021}{1015}}-{\frac {2030}{1015}}={\frac {x+2021}{1015}}-2$

Prin adunarea celor trei relații, membrul stâng al egalității devine

$${\frac {x-5}{1013}}+{\frac {x-7}{1014}}+{\frac {x-9}{1015}}=\left(x+2021\right)\left({\frac {1}{1013}}+{\frac {1}{1014}}+{\frac {1}{1015}}\right)-6$$

Avem

${\frac {x+2009}{6}}={\frac {x+2021-2021+2009}{6}}={\frac {x+2021}{6}}-{\frac {12}{6}}={\frac {x+2021}{6}}-2$

${\frac {x+2005}{8}}={\frac {x+2021-2021+2005}{8}}={\frac {x+2021}{8}}-{\frac {16}{8}}={\frac {x+2021}{8}}-2$

${\frac {x+2001}{10}}={\frac {x+2021-2021+2001}{10}}={\frac {x+2021}{10}}-{\frac {20}{10}}={\frac {x+2021}{10}}-2$

Prin adunarea celor trei relații, membrul drept la egalității devine

$${\frac {x+2009}{6}}+{\frac {x+2005}{8}}+{\frac {x+2001}{10}}=\left(x+2021\right)\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}\right)-6$$

Ecuația inițiale revine la

$$\left(x+2021\right)\left({\frac {1}{1003}}+{\frac {1}{1014}}+{\frac {1}{1015}}\right)-6=\left(x+2021\right)\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}\right)-6$$

Cum ${\frac {1}{1003}}+{\frac {1}{1014}}+{\frac {1}{1015}}\neq {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}$ se obține $x+2021=0$, de unde se obține unica soluție a ecuației

$$x=-2021.$$