28354

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 13:28, 4 December 2023 by Andrei.Horvat (talk | contribs)

28354 (Florin Bojor)

Fie punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex și punctele , , și situate pe segmentele , , , respectiv , astfel încât . Notăm cu , , și mijloacele segmentelor , , , respectiv și cu ,, și mijloacele segmentelor , , , respectiv . Arătați că:

  1. a) punctele , și sunt coliniare dacă și numai dacă .
  2. b) , punctele de intersecție ale dreptelor ,, și sunt vârfurile unui dreptunghi.


Soluție. a)Fie și versorii și ai vectorilor , respectiv .

Deoarece și sunt mijloacele segmentelor , respectiv , obținem:

. (1)

Cum este mijloxul segemntului ,deducem:


(2)

Din (1) și (2) rezultă ca , și sunt coliniare dacă și numai dacă .

b) Notăm și .

Se observă că semidreptele și sunt bisectoarele unghiurilor , respectiv . Ca în (1),deducem că , iar .

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că ,, și . Dar , deci , și sunt necoliniare, așadar , și analog . Notând cu , , , intersecțiile perechilor de drepte și , și , și , și , din cele de mai înaite rezultă că este dreptunghi.