28338

28338 (Nicolae Muşuroia)

Fie $M$ un punct în planul triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1, B_1, C_1} simetricele punctului $M$ față de mijloacele laturilor $BC,AC,$ respectiv $AB$.

a) Arătați că dreptele $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ sunt concurente într-un punct $N$.

b) Arătați că punctele $M,G,N$ sunt coliniare și că ${\frac {MG}{GN}}$ $=2,$ unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$.

Soluție:

a) Patrulaterele $ABA_{1}B_{1}$ și $BCB_{1}C_{1}$ sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc.

Rezultă $AA_{1}$ $\cap$ $BB_{1}$ $\cap$ $CC_{1}$ $=$ $\{N\}$.

b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum $AMBC_{1}$$,$ $AMCB_{1}$ și $BMCA_{1}$ sunt paralelograme, rezultă

$$a_{1}=b+c-m,$$

$$b_{1}=c+a-m,$$

$$c_{1}=a+b-m.$$

În plus$,$ cum $N$ este mijlocul lui $AA_{1}$$,$ rezultă că $n=$ ${\frac {a+a_{1}}{2}}$ $=$ ${\frac {a+b+c-m}{2}}$.

Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC,$ deci $g=$ ${\frac {a+b+c}{3}}$.

Se verifică imediat că ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=2$ $\in$ $\mathbb {R}$$,$ deci punctele $M,G$ și $N$ sunt coliniare și ${\frac {MG}{GN}}$ $=$ ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=$ ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=$ $2$.