28437

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ cu termenii strict pozitivi, dat de relația $a_{n+1}=\ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}),n\geq 1.$ Determinați $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}.$

Soluție:
Pentru orice ${n\geq 2}$ avem $a_{n}=\ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$, deci $a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}=e^{a_{n}}$. Rezultă că pentru orice ${n\geq 2}$ are loc

$$a_{n+1}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n}).$$

Deoarece $a_{n+1}-a_{n}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}}\geq 0)$ pentru orice ${n\geq 2}$ deducem că șirul $(a_{n})_{n\geq 2}$ este strict crescător.
Dacă șirul $(a_{n})_{n\geq 2}$ este mărginit superior, atunci $(a_{n})_{n\geq 2}$ este convergent cu $\lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).$ Trecând la limită în relația (1), obținem $a=\ln(e^{a_{n}}+a)$ de unde $a=0$, absurd! Prin urmare, șirul $((a_{n})_{n\geq 1}$ este crescător și nemărginit superior, deci $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$.
Atunci

$$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}})}{a_{n}}}\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}\right)}{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}}=1$$

deoarece din $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ rezultă că

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}=0.$$