28450

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 11:48, 31 October 2023 by Andrei.Horvat (talk | contribs)
(diff) ← Older revision | Latest revision (diff) | Newer revision → (diff)

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie ℕ, și Considerăm mulțimile disjuncte și , formate din primii termeni a două progresii aritmetice și cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice elemente distincte ale mulțimii există două a căror sumă este egală cu

Soluție:

Fie rația primei progresii. Observăm că

Presupunem că putem alege , elemente distincte ale lui , astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de Din (1) deducem că printre aceste elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile . Cum , rezultă că printre cele numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.